高中数学解三角形§1.2　正弦定理和余弦定理应用举例(二)

§1.2　应用举例(二)

对点讲练

一、证明平面几何有关定理

例1 　一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：＝＋.

证明　

∵S△ABP=S△APC+S△BPC

∴ PA·PBsin(α+β)

= PA·PCsin α + PB·PCsin β

两边同除以 PA·PB·PC，得＝＋.

总结　面积法是证明平面几何问题的常用方法之一．面积等式S△ABP=S△APC+S△BPC是证明本题的关键．

►变式训练1　在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：＝.

证明　

如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，

=.①

在△CBD中，利用正弦定理，＝ ②

∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，

又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，

所以①＝②，得＝.即＝成立.

二、计算平面图形中线段的长度

例2 　如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．