（人教A版必修5）：第1章 解三角形 正弦定理和余弦定理 章末整合 章末检测：doc全文下载

章末整合

对点讲练

一、正、余弦定理解三角形的基本问题

例1 　在△ABC中，

(1)已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C、c；

(2)已知sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角．

点拨　(1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量．

(2)先由sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，求出a∶b∶c，再由余弦定理求出最大角．

解　(1)由正弦定理及已知条件有＝，

得sin A＝，∵a>b，∴A>B＝45°，∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝，

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝.

(2)根据正弦定理可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶(－1)∶，

∴边c最大，即角C最大．

设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k，

则cos C＝＝＝－.∵C∈(0，π)，∴C＝.

回顾归纳　已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

►变式训练1　(1)△ABC中，AB＝1，AC＝，∠C＝30°，求△ABC的面积；

(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

解　(1)＝，∴sin B＝，∴B＝60°或120°，

当B＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S_△ABC＝.

当B＝120°时，A＝30°，∴S_△ABC＝××1×sin 30°＝.

综上，△ABC的面积为或.

(2)∵S＝absin C，∴sin C＝，于是C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，c²＝a²＋b²－2abcos C＝a²＋b²－ab＝21，∴c＝；

当C＝120°时，c²＝a²＋b²－2abcos C＝a²＋b²＋ab＝61，

∴c＝.∴c的长度为或.

二、正、余弦定理在三角形中的应用