高中数学必修四第10课时 平面向量的数量积及运算律（二）：doc全文下载

第十课时  平面向量的数量积及运算律(二)

教学目标：

掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：

平面向量数量积及运算规律.

教学难点：

平面向量数量积的应用.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.

这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.

Ⅱ.讲授新课

［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.

分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角 ＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；

若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；

②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，

∴a·b＝0；

③当a与b的夹角是60°时，有

a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.

［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可.

解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b) (a＋3b)·(7a－5b)＝0 7a²＋16a·b－15b²＝0       ①

又(a－4b)⊥(7a－2b) (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a²－30a·b＋8b²＝0                ②

①－②得：46a·b＝23b²

即有a·b＝b²＝｜b｜²，

将它代入①可得：