高中数学必修四第9课时 平面向量的数量积及运算律（一）：doc全文下载

第九课时  平面向量的数量积及运算律(一)

教学目标：

掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

教学重点：

平面向量的数量积定义.

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.

教学过程：

Ⅰ.课题引入

在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：

W＝｜F｜·｜s｜cosθ

其中θ是F与s的夹角.

从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.

Ⅱ.讲授新课

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；

(2)当θ＝π时，a与b反向；

(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.

2.数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cosθ(0≤θ≤π).

说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；

(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

3.数量积的几何意义

两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.

说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.

4.数量积的重要性质

设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ₀是a与e夹角，θ是a与b夹角.

①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ₀

②a⊥b a·b＝0

③当a与b同向时，a·b＝｜a｜｜b｜

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜｜b｜

特别地，a·a＝｜a｜²或｜a｜＝＝