高中数学必修四第11课时 平面向量数量积的坐标表示：doc全文下载

第十一课时  平面向量数量积的坐标表示

教学目标：

掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.

教学重点：

平面向量数量积的坐标表示.

教学难点：

向量数量积的坐标表示的应用.

教学过程：

Ⅰ.课题引入

上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢?

这是我们这一节将要研究的问题.

Ⅱ.讲授新课

首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：

记a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，

∴a＝x₁i＋y₁j，b＝x₂i＋y₂j

∴a·b＝(x₁i＋y₁j)(x₂i＋y₂j)＝x₁x₂i²＋(x₁y₂＋x₂y₁)i·j＋y₁y₁j²＝x₁x₂＋y₁y₂

1.平面向量数量积的坐标表示：

已知a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，

∴a·b＝x₁x₂＋y₁y₂

2.两向量垂直的坐标表示：

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)

则a⊥b a·b＝0 x₁x₂＋y₁y₂＝0

［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是多少?

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.

解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)

有a·b＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.

记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝

又∵0≤θ≤ ，  ∴θ＝

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.

分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.

解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)

又(xa＋yb)⊥a (xa＋yb)·a＝0

3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0

即25x＋24y＝0                                                                                                       ①

又｜xa＋yb｜＝1 ｜xa＋yb｜²＝1