高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义：doc全文下载

§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义

【学习目标】

1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；

2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：如右图，如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功              ，其中 是 与 的夹角.

（二）自主探究：（预习教材P103—P105）

探究：平面向量数量积的含义

问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？

1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量 ，我们把______________叫 的数量积。（或________）记作_________即 ＝___________________其中 是 的夹角。__________叫做向量 方向上的______。我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。

问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？

2、平面向量数量积的性质：设 均为非空向量：

① ___________

②当 同向时， ＝________　当 反向时， ＝_______ _，

特别地， __________或 ___________。

③ ___________        _               ④ _______        ____

⑤. 的几何意义：______________                  ______________________。

问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律 吗？

3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量 与实数 。

① ＝___________；② ＝___________；③ ＝___________。

问题4：我们知道，对任意 ，恒有 ，  

对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？

⑴                    ；    ⑵                    .

二、合作探究

1、已知 ， ，且 与 的夹角 ，求 .

变式1：若 ， ，且 ，则 是多少？

变式2：若 ， ，且 ，则 是多少？

变式3：若 ， ，且 与 的夹角 ，求 。

变式4：若 ， ，且 ，求 与 的夹角。