高中数学不等式专题：运用基本不等式解题常见问题对策探求：doc全文下载

运用基本不等式解题常见问题对策探求

利用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一，在使用时应注意基本不等式的条件“一正、二定、三相等”.在解题的过程中，往往不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“和（或积）不是定值”、“等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面针对部分情况提出对策.

　　一、和（或积）不是定值

对策：变量为正数时“若和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值”.当和（或积）不是常数时，可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等.

对策一、拆项   分拆已知项在注意等号成立的条件下，把和（积）变成定值

例1、求函数 的最小值。

解析： ，所以仅当 。

评析：目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分 为相同的两项，同时使得含变量的因子 的次数和为零。思路不教练，功底不扎实是无法完成变形目标的。

练习1：已知 （ 为已知常数），求函数 的最大值

对策二：使用均值不等式时，若能从等号成立的条件入手巧妙地配项则可把问题转化

例2：已知 、 、 、 为整数，且 ，求证：

练习：已知 满足 ，求证：

对策三、添、凑项  在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项，常见的凑项方法有：

（1）、系数变形

在利用均值不等式时，有时系数并不满足均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。

例3、已知 ， ，且 ，求 的最大值。

分析：已知 的系数与所要求的 的系数不相吻合。要对 的系数加以变形，使之满足 中的系数要求。

解析：