要点1 函数概念、图象、性质
1.中等题 浙江 理 22
已知a是给定的实常数，设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex，b∈R，x=a是f(x)的一个极大值点。
(Ⅰ)求b的取值范围；
(Ⅱ)设x1、x2、x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1、x2、x3、x4的某种排列■(其中{i1、i2、i3、i4}={1、2、3、4})依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）分析：f(x)=(x-a)2(x+b)ex，b∈R
f'(x)=(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a]·ex
设g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a
△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)
=a2+b2+2ab-2a-2b+1+8=(a+b-1)2+8＞0
∴g(x)=0有两个不等实根x1、x2，且x1≠x2
设x1＜x2，若x1=a，f'(x)=(x-a)2(x-x2)ex，x2是f(x)极值点，a不是f(x)极值点，同理x2≠a
∴x1≠a，x2≠a
f'(x)=(x-a)(x-x1)(x-x2)ex
当a＜x1＜x2时，x＜a→f'(x)＜0，f(x)↓，x=a不是极大值点。当x1＜x2＜a时，x＞a→f'(x)＞0，f(x)↑，x=a也不是极大值点。∴x1＜a＜x2，g(a)=2(a+b)＜0，b＜-a，即b∈(-∞，-a)
（II）复杂，略去
评析：（I）f'(x)=0的解不是极值点，在极值点x=x0左、右的导函数值必须符号相反。
2.中等题 天津 文 10
设函数g(x)=x2-2(x∈R)
f(x)=g(x)+x+4，x＜g(x)g(x)-x，xg(x)，则f(x)的值域是（ ）
（A）[-■，0]∪(1，+∞) (B)[0，+∞)
(C)[-■，+∞) (D)[-■，0]∪(2，+∞)
分析这是一个分段函数，但在每一段上，没明确给出x的范围，我们可以通过x=g(x)求出每一段x的范围，使问题简化。x=x2-2，x2-x-2=0，x=-1，2
f(x)=x2+x+2，x＜-1或x＞2x2-x-2，-1x2
画出图象
f(x)=(x+■)2+■，x＜-1或x＞2(x-■)2-■，-1x2
选D
3.中等题 江西 文 8
若函数y=■的图象关于直线y=x对称，则a为（ ）
A．1 B-1 C．±1 D．任意实数
分析把y=■变形y=-a(-1+■)，g(x)=-1+■，图象为右图
-a·g(x)不改变图象关于y=x对称的特征
∵y=■的图象关于y=x对称 ∴y=■与反函数y=■有相同的图象 ∴a=-1 选B
